✎☛ Résoudre un système par combinaison

Méthode Par combinaison

Lorsque l'on résout par combinaison un système de deux équations linéaires à deux inconnues, on ajoute ou on soustrait les deux équations membre à membre. Pour cela, on doit parfois auparavant multiplier (ou diviser) les membres d'une (ou deux) équation(s) par un nombre non nul bien choisi.

Énoncé

Résoudre le système suivant par combinaison :  \(\begin{cases} 5x+3y=2 \\ -10x+4y=-14 \end{cases}\) .

Solution

Le déterminant du système est :  \(5\times 4-(-10)\times 3=50\) .
Il est différent de  \(0\) , donc le système admet un unique couple solution.
On note \(E_1\) et \(E_2\) les deux équations du système :  \(\begin{cases} 5x+3y=2 \hspace{1.55cm} E_1\\ -10x+4y=-14 \quad E_2 \end{cases}\) .
On multiplie les deux membres de \(E_1\)  par \(2\) .
On obtient le système s uivant :  \(\begin{cases} 10x+6y=4 \quad \qquad E_1\\ -10x+4y=-14 \quad E_2 \end{cases}\) .
On ajoute, membre à membre, les deux équations.
On obtient : \((10x-10x)+(6y+4y)=4-14\)  soit  \(10y=-10\)  soit  \(y=-1\) .
On remplace \(y\) par \(-1\) dans l'expression initiale de \(E_1\) .
On obtient : \(5x+3\times (-1)=2 \Leftrightarrow 5x=5 \Leftrightarrow x=1\) .
On vérifie que le couple \((1~;-1)\) est bien solution des deux équations.
Conclusion : \((1~;-1)\) est le couple solution du système.